РIЗНI ПIДХОДИ В КОНСТРУКТИВНОМУ МАРТИНГАЛЬНОМУ ПРЕДСТАВЛЕННI БРОУНIВСЬКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ
DOI:
https://doi.org/10.17721/2706-9699.2022.1.03Ключові слова:
мартингальне зображення, похiдна Маллявена, формула Кларка–Окона, зображення Глонтi–ПуртухiїАнотація
У цiй роботi дослiджуються питання конструктивного стохастичного iнтегрального зображення броунiвських функцiоналiв, цiкавi з погляду їх практичного застосування в задачi хеджування європейського опцiону. Крiм короткого обговорення вiдомих результатiв у цьому напрямку, у разi стохастично гладких (у сенсi Маллявена) функцiоналiв, ми також проiлюструємо кориснiсть зображення Глонтi–Пуртухiї для негладких функцiоналiв. Зокрема, ми узагальнюємо формулу Кларка–Оконе на випадок, коли функцiонал не є стохастично гладким, але його умовне математичне сподiвання стохастично диференцiйовне i знаходимо явний вираз для пiдiнтегральної функцiї. Бiльш того, ми розглядаємо такi функцiонали, якi не задовольняють навiть ослабленим умовам, тобто негладкi, броунiвськi функцiонали, що залежать вiд траєкторiї, умовнi математичнi сподiвання яких також не є стохастично диференцiйовними, i знову даємо конструктивне мартингальне зображення.
Посилання
Kuo H-H. Introduction to stochastic integration. Springer, Nye York, 2006. 278 p.
Clark J. M. C. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals. J. Ann. Math. Stat. 1970. Vol. 41. P. 1282–1295.
Ito K. Multiple Wiener Integral. Journal of the Mathematical Society of Japan. 1951. Vol. 3(1). P. 157–169.
Harrison J. M., Pliska, S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. J. Stochastic Processes and Applications. 1981. Vol. 11. P. 215–260.
Ocone D. Malliavin calculus and stochastic integral representation formulas of diffusion processes. J. Stochastics. 1984. Vol. 12. P. 161–185.
Nualart D., Pardoux E. Stochastic calculus with anticipating integrands. J. Probability Theory and Related Fields. 1988. Vol. 78(4). P. 535–581.
Shiryaev A. N., Yor M. On the question of stochastic integral representations of functionals of Brownian motion I. J. Theory of Probability and Its Applications. 2003. Vol. 48(2). P. 375–385.
Graversen S. E., Shiryaev A. N., Yor M. On the question of stochastic integral representations of functionals of Brownian motion II. J. Theory of Probability and Its Applications. 2006. Vol. 56(1). P. 64–77.
Renaud J-F., Remillard B. Explicit martingale representations for Brownian functionals and applications to option hedging. J. Stochastic Analysis and Applications. 2007. Vol. 25(4). P. 801–820.
Jaoshvili V., Purtukhia O. Stochastic integral representation of functionals of Wiener Processes. J. Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2005. Vol. 171(1). P. 17–20.
Glonti O., Purtukhia O. Clark’s representation of Wiener functionals and hedging of the Barrier Option. J. Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2014. Vol. 8(1). P. 32–39.
Glonti O., Purtukhia O. Hedging of European Option of Integral Type. J. Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2014. Vol. 8(3). P. 4–13.
Glonti O., Purtukhia O. Hedging of One European Option of Integral Type in Black-Scholes Model. International Journal of Engineering and Innovative Technology (IJEIT). 2014. Vol. 4(5). P. 51–61.
Glonti O., Purtukhia O. Hedging of European Option with non-smooth payoff function. Ukrainian Mathematical journal. 2018. Vol. 70. P. 890–905.
Glonti O., Jaoshvili V., Purtukhia O. Hedging of European Option of Exotic Type. Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute. 2015. Vol. 168. P. 25–40.
Livinska A., Purtukhia O. Stochastic integral representation of one stochastically non-smooth Wiener functional. J. Bulletin of TICMI. 2016. Vol. 20(2). P. 11–23.
Rogers L. C. G., Wiiliams D. Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Volume - 2: Ito Calculus. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. 468 p.
Glonti O., Purtukhia O. On one integral representation of functionals of Brownian motion. J. Theory of Probability and Its Applications. 2017. Vol. 61(1). P. 133–139.
Nualart D. The Malliavin calculus and related topics (second edition). SpringerVerlag, Berlin, 2006. 382 p.
