IСНУВАННЯ У ПРОСТОРI ШВАРЦА ТА ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯНЬ ТИПУ РIВНЯННЯ ХОПФА ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
DOI:
https://doi.org/10.17721/2706-9699.2023.1.05Ключові слова:
задача Кошi, квазiлiнiйне рiвняння, рiвняння Хопфа, рiвняння Кортевега–де Фрiза, асимптотичнi розв’язки, швидко спаднi функцiїАнотація
Розглянуто питання про iснування розв’язкiв задачi Кошi для квазiлiнiйного диференцiального рiвняння першого порядку iз частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами. Дослiджуване рiвняння є узагальненням класичного рiвняння Хопфа, яке використовується при вивченнi багатьох математичних моделей гiдродинамiки. Це рiвняння виникає при побудовi наближених (асимптотичних) розв’язкiв рiвняння Кортевега–де Фрiза та iнших рiвнянь iнтегровного типу зi змiнними коефiцiєнтами i сингулярним збуренням, зокрема, при знаходженнi їх асимптотичних солiтоноподiбних розв’язкiв типу сходинки. Для згаданого диференцiального рiвняння першого порядку в аналiтичному виглядi отримано розв’язок задачi Кошi та доведено твердження про достатнi умови iснування розв’язкiв початкової задачi у просторi швидко спадних функцiй. Розглянуто аналогiчну задачу для диференцiального рiвняння першого порядку iз частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами та квадратичною нелiнiйнiстю.
Посилання
Sedov L. I. Mechanics of continuous media. In 2 volumes. Series in Theoretical and Applied Mechanics. Vol. 4. World Scientific, 1997. 1368 p.
Hopf E. The partial differential equation $u_t+uu_x=μu_xx$. Comm. Pure Appl. Math.1950. Vol. 3. P. 201–230.
Burgers J. M. Mathematical examples illustrating relations occurring in the theory of turbulent fluid motion. Verhandelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen. Afdeeling natuurkunde (Eerste sectie).1939. Deel XVII, no. 2. P. 1–53.
Burgers J. M. Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence. Proceedings of the section of sciences. Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen. Amsterdam. 1940. Vol. XLII, no. 1. P. 2–12.
Oleinik O. A. Discontinuous solutions of non-linear differential equations. Uspekhi Mat. nauk. 1957. Volume 12, No 2. P. 3–73.
Hopf E. On the right weak solution of the Cauchy problem for a quasilinear equation of first order. Journ. Math. Mech.1969. Vol. 19, No 6. P. 483–487.
Goritsky A. Yu., Kruzhkov S. N., Chechkin G. A. Partial differential equations of the first order. M.: Publishing house of the Center appl. researches at mech.-mat. faculty of Moscow State University, 1999. 96 p.
Scott E. Waves in active and nonlinear media in applications to electronics. Moscow: Soviet radio. 1977. 368 p.
Lighthill M. J., Whitham G. B. On kinematic waves. I. Flood movement in long rivers. Proc. Roy. Soc.(London). 1965. Vol. 229 A. P. 281–316.
Lighthill M. J. Group velocity. Journ. of the Institute of Mathematical Applications.1965. Vol. 1. P. 1–28.
Gazis D. C. Mathematical theory of automobile traffic. Science.1967. Vol. 157. P. 273–281.
Lighthill M. J., Whitham G. B. On kinematic waves. II. A theory of traffic flow on long crowded roads. 1965. Vol. 229 A. P. 317–345.
Golovatyy Y. D., Kyrylych V. M., Lavrenyuk S. P. Differential equations. Lviv: Ivan Franko National University, 2011. 470 p.
Zaslavsky G. M., Sagdeev R. Z. Introduction to nonlinear physics. From pendulum to turbulence and chaos. Moscow: Nauka, 1988. 368 p.
Whitham J. Linear and non-linear waves. M.: Mir. 1977. 624 p.
Maslov V. P., Omel’yanov G. A. Geometric asymptotics for PDE. American Math. Society, Providence. 2001. 243 p.
Solitons. Ed. R. Bullaf, F. Codry. Moscow: Mir, 1983. 408 p.
Samoilenko V. G., Samoilenko Yu. I. Asymptotics for single-phase soliton-like solutions of the Korteweg–de Vries equation with variable coefficients.. Ukr. mat. journal. 2005. Volume 58, No 1. P. 111–124.
Samoilenko Yu. I. Asymptotic solutions of the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients (general case). Mathematical Bulletin of the NTSh. 2010. Vol. 7. P. 227–242.
Faminskii A. V. The Cauchy problem for the Korteweg–de Vries equation and its generalizations. Proceedings of the seminar. I. G. Petrovsky. 1988. Volume 13, pp. 56–105.
Samoilenko A. M., Perestyuk M. O., Parasyuk I. O. Differential Equations. VPC <>. 2010. 527 p.
Samoilenko V. G., Samoilenko Yu. I. Asymptotic multiphase soliton-like solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients. Ukr. mat. journal. 2014. Vol. 66, No 12. P. 1640–1657.
Lyashko S. I., Samoilenko V. Hr., Samoilenko Yu. I., Lyashko N. I. Asymptoticanalysis of the Korteweg-de Vries equation by the nonlinear WKB technique. Mathematical Modeling and Computing. 2021. Vol. 8, No 3. P. 368–378.
