СУПЕРСИНГУЛЯРНI КРИВI ЕДВАРДСА I МЕТОД ПIДРАХУНКУ ПОРЯДКУ КРИВОЇ ЕДВАРДСА НАД СКIНЧЕННИМ ПОЛЕМ
DOI:
https://doi.org/10.17721/2706-9699.2020.1.06Ключові слова:
скiнченне поле, елiптична крива, крива Едвардса, група точок на елiптичнiй кривiйАнотація
Ми розглядаємо алгебраїчнi аффiннi i проективнi кривi Едвардса [2, 8] над скiнченним полем $F_{p^n}$. Складнiсть проблеми дискретного логарифму в групi точок елiптичної кривої (ECDLP) [4] залежить вiд порядку цiєї кривої [10]. Дослiджуємо алгебраїчнi кривi Едвардса над скiнченним полем, якi є одним з найбiльш преспективних носiїв множин точок, якi використовуються для швидких групових операцiй [1]. Будуємо новий метод пiдрахунку порядку кривої Едвардса над скiнченним полем. Слiд зазначити, що цей метод може бути застосований до визначення порядку елiптичних кривих через бiрацiональнi еквiвалентностi мiж елiптичними кривими i кривими Едвардса. Ми не тiльки знаходимо набiр коефiцiєнтiв з вiдповiдними характеристиками поля, для яких цi кривi є суперсингулярними, ми також додатково знаходимо загальну формулу, згiдно з якою можна визначити, чи є крива $E_d [F_p]$ суперсингулярною над цим полем чи нi. Дослiджується ступiнь вкладення суперсингулярної кривої Едвардса над $F_{p^n}$ в скiнченне поле. Також знайдена характеристика поля, де цей ступiнь мiнiмальний. У статтi знайдено критерiй суперсингулярностi кривої Едвардса над $F_{p^n}$. Встановлено взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж суперсингулярними кривими Едвардса i суперсингулярними кривими Монтгомерi. Побудований бiрацiональних iзоморфiзм мiж кривою Монтгомерi та кривою Едвардса. Вказанi образи спецiальних точок кривої Едвардса на сферi Рiмана при бiрацiональному iзоморфiзмi.
Посилання
Daniel J. Bernstein, Peter Birkner, Marc Joye, Tanja Lange, and Christiane Peters. Twisted edwards curves. In: Serge Vaudenay (ed.) Progress in Cryptology – AFRICACRYPT 2008, Berlin, Heidelberg, 2008. Springer. P. 389–405.
Edwards H. A normal form for elliptic curves. Bulletin of the American mathematical society. 2007. 44(3). P. 393–422.
Fulton W. Algebraic curves. An Introduction to Algebraic Geometry. AddisonWesley, 3 edition, 2008.
Koblitz N. Elliptic curve cryptosystems. Mathematics of computation. 1987. 48(177). P. 203–209.
Lidl R., Niederreiter H. Introduction to Finite Fields and their Applications. Cambridge University Press, 1994.
Montgomery P. L. Speeding the pollard and elliptic curve methods of factorization. Mathematics of computation. 1987. 48(177). P. 243–264.
Schoof R. Counting points on elliptic curves over finite fields. Journal de th´eorie des nombres de Bordeaux. 1995. 7(1). P. 219–254.
Skuratovskii R. V. The order of projective edwards curve over F_{p^n} and embedding degree of this curve in finite field. In: Cait 2018, Proceedings of Conferences. 2018. P. 75–80.
Skuratovskii R. V. Supersingularity of elliptic curves over F_{p^n}. Research in Mathematics and Mechanics. 2018. 31(1). P. 17–26. (in Ukrainian)
Skuratovskii R. V. Employment of minimal generating sets and structure of sylow 2-subgroups alternating groups in block ciphers. In: Advances in Computer Communication and Computational Sciences. Springer. 2019. P. 351–364.
Stepanov S. A. Arifmetika algebraicheskikh krivykh. Nauka. Glav. red. fizikomatematicheskoi lit-ry. 1991. (in Russian)
Vinogradov I. M. Elements of number theory. Courier Dover Publications. 2016.
Barreto P. S. L. M., Naehrig M. Pairing-friendly elliptic curves of prime order. In: Bart Preneel and Stafford Tavares (eds.) Selected Areas in Cryptography. Berlin, Heidelberg, 2006. Springer. P. 319–331.
Glazunov N. M., Skobelev S. P. Manifolds over the rings. IAMM National Academy of Sciences of Ukraine. Donetsk. 2011. P. 323.
Varbanec P. D., Zarzycki P. Divisors of the Gaussian integers in an arithmetic progression. Journal of Number Theory. 1989. Vol. 33. Iss. 2. P. 152–169
Silverman J. H. The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 106. Springer-Verlag. 1986.
Skuratovskii R. V., Williams A. A solution of the inverse problem to doubling of twisted Edwards curve point over finite field. Processing, transmission and security of information. 2019. vol. 2. Wydawnictwo Naukowe Akademii TechnicznoHumanistycznej w Bielsku-Bialej.
Deligne P. La conjecture de Weil. Publications Mathematiques de l’IHES. 1974. Vol. 43. P. 273–307.
Ren´e Schoof. Counting points on elliptic curves over finite fields. Journal de th´eorie des nombres de Bordeaux, 7(1):219–254, 1995.
R. Skuratovskii. The Derived Subgroups of Sylow 2-Subgroups of the Alternating Group and Commutator Width of Wreath Product of Groups. Mathematics, Basel, Switzerland, 2020, 8 (4), pp. 3–22.
